Все правила и теоремы по геометрии за 8 класс

Словарь геометрических понятий 7-8 класс

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы

7 класс Глава I Начальные геометрические сведения

Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов

Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.

Луч-часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.

Угол-часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Равные фигуры-фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.

Середина отрезка-точка на отрезке, делящая его пополам.

Биссектриса угла-луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

Единицы измерения углов: градус, минуты, секунды.

Длина отрезка-количество единиц измерения длины, вмещающихся между двумя концами отрезка.

Градусная мера угла-количество единиц измерения углов, вмещающихся между сторонами угла.

Прямой угол-угол,градусная мера которого равна 90 0 .

Острый угол-угол,градусная мера которого меньше 90 0 .

Тупой угол-угол,градусная мера которого больше 90 0 ,но меньше 180 0 .

Развёрнутый угол-угол,градусная мера которого равна 180 0 .

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая,а две других образуют прямую линию.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 0 .

Вертикальные углы-два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойство: вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые-прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.

Параллельные прямые-прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Глава II Треугольники

Треугольник-фигура, состоящая из трёх точек, соединённых между собой отрезками.Точки-вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.

Периметр – сумма длин всех сторон.

Теорема(первый признак равенства треугольников): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: из точки,не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медиана треугольника— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника— отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника— перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник-треугольник, у которого две стороны равные. Равные стороны – боковые, третья сторона – основание.

Равносторонний треугольник— треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Теорема(второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(третий признак равенства треугольников): если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружность-геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки-центра.

Радиус окружности-отрезок,соединяющий любую точку окружности с её центром.

Хорда-отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

Диаметр-хорда, проходящая через центр.

Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

построение отрезка, равного данному

построение угла, равного данному

построение биссектрисы угла

построение середины отрезка

построение перпендикулярных прямых

Глава III Параллельные прямые

При пересечении двух прямых третьей прямо-секущей образуются следующие виды углов:

накрест лежащие углы

Теорема(первый признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(второй признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(третий признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна углы равна 180 0 , то прямые параллельны.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема:если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Теорема:если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 .

Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: сумма внутренних углов треугольника равна 180 0 .

Внешний угол треугольника-угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.

Остроугольный треугольник-это треугольник, все внутренние углы которого острые.

Тупоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов прямой.

Гипотенуза-это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Катеты-это стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.

Теорема:в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Теорема:в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствие:в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.

Теорема(признак равнобедренного треугольника):если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема(неравенство треугольника):каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Свойство:сумма двух острых углов треугольника равна 90 0 .

Свойство:катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.

Свойство:если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то он лежит напротив угла в 30 0 .

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Теорема:все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

8 класс. Глава V Четырёхугольники

Многоугольник-фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.

Диагональ-это отрезок, соединяющий две несоседних вершины многоугольника.

Выпуклый многоугольник— это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Теорема:Сумма внутренних углов выпуклого n -угольника равна ( n -2)*180 0 .

Параллелограмм— это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Трапеция-это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.

Равнобедренная трапеция-это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция-это трапеция, у которой один из углов прямой.

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Прямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали прямоугольника равны.

Теорема(признак прямоугольника):если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.

Единицы измерения площади: мм 2 ,см 2 , дм 2 , м 2 , ар=100м 2 , км 2 , га=100км 2 .

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.

Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема(обр.):если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

Глава VII Подобные треугольники

Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m 1и n 1,если отношения их длин равны m : m 1= n : n 1.

Подобные треугольники— это треугольники, у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Коэффициент подобия- это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема(второй признак подобия треугольников):если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к прилежащему .

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к противолежащему .

Глава VIII Окружность

Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.

Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Средняя линия трапеции— это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Теорема:средняя линия трапеции равна полусумме её оснований и параллельна им.

infourok.ru

Сказки и аудиосказки. а также загадки, притчи, советы родителям

  • Воспитание детей (54)
    • Воспитание детей раннего возраста (11)
    • Ошибки воспитания (6)
    • Ошибки родителей (4)
    • Папа+Мама+Я=Семья (6)
    • Правила для родителей (4)
    • Про любовь (4)
    • Читатель 21 века (8)
  • Геометрия (3)
    • Геометрия 7 класс (2)
  • Загадки (5)
  • Математика ГИА (15)
    • Задание № 1 (7)
    • Задание № 3 (4)
    • Задание № 4 (4)
  • Праздники (14)
    • 23 февраля (1)
    • 8 Марта (2)
    • День Победы – 9 Мая (1)
    • День числа Пи (1)
    • Масленица (8)
  • Притчи о жизни (34)
    • Аудио-притчи (28)
    • Видео-притчи (1)
    • Притчи о любви (4)
  • Сказки (50)
    • Аудио-сказки Сергея Панчешного (6)
    • Башкирские сказки (3)
    • Белорусские сказки (2)
    • Латышские сказки (3)
    • Литовские сказки (1)
    • Русские сказки (6)
    • Сказки о животных и птицах (5)
    • Сказки о природе (6)
    • Сказки о растениях (2)
    • Сказки Сергея Панчешного (14)
    • Украинские сказки (8)
    • Эстонские сказки (5)
    • Японские сказки (1)
  • Советы родителям (4)
  • Успех (21)

Теоремы и определения по геометрии (урок 2)

Начинаем второй урок, посвящённый изучению теорем, аксиом и определений, геометрии 7 класса.

25. СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ПРЯМОЙ – это достаточно сложное определение, в котором будет 4 раза слово «дано, данный», и ни одного из них пропустить нельзя. Читаем: ИЗ ДАННОЙ ТОЧКИ, КОТОРАЯ ЛЕЖИТ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ К ДАННОЙ ПРЯМОЙ В ДАННОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ МОЖНО ВОССТАВИТЬ ТОЛЬКО ОДИН ПЕРПЕНДИКУЛЯР.

26. Биссектриса – полупрямая, которая исходит из вершины угла и делит угол пополам.

27. Признаки равенства треугольников. Следствие.
– если две стороны и угол , заключённый между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны;
– если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
– если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
СЛЕДСТВИЕ. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны.

28. Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

29. Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и противоположной стороной. У биссектрисы угла есть начало, но нет конца, а у биссектрисы треугольника есть начало и есть конец.

30. ВЫСОТА – 2 определения, по Атанасяну и Погорелову:
– высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на
противоположную сторону или её продолжение;
– это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

31. Равнобедренный треугольник и его свойства:
– равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.
Свойство – в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

32. Свойство медианы равнобедренного треугольника:
– медиана угла при вершине равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой и высотой.

33. Свойство двух прямых, параллельных третьей:
– если две прямые ПОРОЗНЬ параллельны одной и той же третьей, то они параллельны между собой.

34. Углы при параллельных и секущей:
– при пересечении двух прямых третьей образуется 4 пары односторонних углов, 4 пары накрест лежащих углов и 4 пары соответственных углов.

35. Признаки параллельности прямых:
– если при пересечении двух прямых третьей окажется, что какие-нибудь накрест лежащие углы равны, или какие-нибудь соответственные углы равны, или какие-нибудь односторонние в сумме дают 180 градусов, то такие прямые параллельны.

36. Свойство накрест лежащих, соответственных и односторонних углов:
– если две параллельные прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и односторонние углы в сумме равны 180°.

37. Сумма углов треугольника – равна 180°.
Следствия:
— в равностороннем треугольнике все углы равны 60°;
— в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°;
— в прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны по 45°;
— в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине
гипотенузы;
— внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
— если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы у них равны.

38. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
1. если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны;
2. если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны;
3. если катет и противолежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и противолежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны;
4. если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны;
5. если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

39. Теорема о единственности опущенного перпендикуляра:
– из точки вне прямой на прямую можно опустить перпендикуляр и притом только один.

40. Окружность, круг, хорда, диаметр, радиус, дуга, сектор, сегмент:
– окружность – кривая, замкнутая на плоскости, все точки которой одинаково удалены от центра окружности;
– круг – часть плоскости, ограниченная окружностью;
– хорда – отрезок, который соединяет две точки окружности;
– диаметр – хорда, проходящая через центр окружности;
– радиус – отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности;
– дуга – часть окружности;
– сектор – часть круга, заключённая между двумя радиусами и дугой;
— сегмент – часть круга, заключённая между хордой и дугой.

41. Геометрическое место точек (ГМТ) – все точки плоскости или пространства,
которые имеют одни и те же свойства.

42. Центральный угол – угол, вершина которого в центре окружности, а стороны
пересекают окружность.

43. Вписанный угол и его измерение.
– вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность;
– вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается;
– вписанный угол равен половине центрального, стороны которого проходят через те же точки окружности, что и стороны вписанного угла, а если вписанный угол тупой, то он дополняет половину центрального до 180°.
44. Первая замечательная точка треугольника:
– три срединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности.

45. Вторая замечательная точка треугольника:
– три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка
является центром вписанной окружности.
1 урок 3 урок

audio-skazki.com

Проект по геометрии 8 класс по теме «Теорема Пифагора»

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Выбранный для просмотра документ 1.Биография Пифагора.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

ВЫПОЛНИЛ Ученик 8-А класса КАРЕВ ДАНИИЛ Биография Пифагора

О Пифагоре другие люди Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого учёного, посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом»

Родители Пифагора Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Мнесарх был камнерезом по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопоннесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора. Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.

юность Пифагора Пифагор родился в Сидоне Финикийском (по Ямвлиху) примерно в 570 до н.э. . С ранних лет он обнаружил необыкновенную одаренность В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён не только в египетские достижения медицины и математики, но и в таинства, запретные для прочих чужеземцев.

Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком. По Порфирию, Пифагор покинул Самос из-за несогласия с тиранической властью Поликрата в 40-летнем возрасте. Так как эти сведения основываются на словах Аристоксена, источника IV века до н. э., то считаются относительно достоверными. Поликрат пришёл к власти в 535 до н. э., отсюда дата рождения Пифагора оценивается в 570 до н. э., если допустить, что он уехал в Италию в 530 до н. э. Ямвлих сообщает, что Пифагор переехал в Италию в 62-ю Олимпиаду ВЗРОСЛАЯ ЖИЗНЬ

СМЕРТЬ ПИФАГОРА У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Мийя (по другой версии сын Аримнест и дочь Аригнота). По Ямвлиху, Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н. э., к началу эпохи греко-персидских войн. Диоген, ссылаясь на Гераклида (IV в. до н. э.), говорит, что Пифагор мирно скончался в возрасте 80 лет, или же в 90 лет (по неназванным другим источникам). Из этого следует дата смерти 490 до н. э. (или 480 до н. э., что маловероятно). Евсевий Кесарийский в своей хронографии обозначил 497 до н. э. как год смерти Пифагора.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ По преданию, Пифагор, чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет и как-будто прожил там 22 года. Хорошо овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. Предания приписывают Пифагору посещение и Индии. Это очень вероятно, так как Иония и Индия тогда имели торговые связи. Возвратившись на родину ( 530 до н. э. ) Пифагор попытался организовать свою философскую школу. Однако по неизвестным причинам он вскоре оставляет Самос и селится в Кротоне (греческая колония на севере Италии) . Здесь Пифагору удалось организовать свою школу, которая действовала почти тридцать лет.

В Вавилоне Пифагор провел 12 лет. В конце концов он разгадал загадку египетского треугольника. Он доказал свою знаменитую теорему, которая и по сей день носит его имя: теорема Пифагора. a2=с2+b2

СПАСИБО ЗА ПРОСМОТР!

Выбранный для просмотра документ 2.Пифагорейская школа.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Пифагорейская школа Подготовили учащиеся 8 класса МБОУ «Гимназия№8» Кожура Маргарита, Ли Елизавета, Прошкина Диана, Шаповалова Анастасия, Пашкова Екатерина ?

Учение в Пифагорейской школе Главной идеей пифагорейцев (до начала 4 в. до н.э.) было понимание организации, порядка и гармонии мира в качестве высшего закона Вселенной. Этот закон интерпретировался через понятие числа. Даже понятия добро и зло, имели непосредственное отношение к их математическому выражению: нечётные числа — это выражение лучшего, а чётные — выражение худшего. Число господствует над Вселенной и над произведениями человеческого ума, делает сокрытое познаваемым. Следует напомнить, что греческая математика начинается с милетской школы (Фалес, Анаксимандр). Наследуя знание Египта и Вавилона, пифагорейцы трансформировали это знание в автономную и строгую науку. ?

Они открыли новый тип сущности — числа и геометрические фигуры, которые не телесны, но, по-видимому, обладают собственными свойствами. Они видели, что многие атрибуты чисел принадлежат к воспринимаемым телам и предполагали, что действительные вещи могут рассматриваться не только в их числовом выражении, но являются числами. Бытие, следовательно, означает бытие математических объектов: числа и фигуры являются сущностью вещей; сущности, которые существуют, суть имитации математических форм. Математическое соотношение между высотой тона и длиной струны они положили в основу представлений о музыкальной гармонии. Гармония, в соответствии с которой пифагорейцы обозначали мир как «космос», проявляла себя в движении небесных тел, воплощающемся в определенных тонических интервалах. Гармония светил, гармония космоса неощутима вследствие непрерывного воздействия на нас, поэтому все ощутимые магические и сакральные функции пифагорейцы приписывали музыке. Музыка использовалась при отправлении культа и служила для возвышения души и очищения разума от горестных мыслей.

Нравственные принципы и заповеди Пифагора Нравственные принципы, проповедуемые Пифагором и сегодня достойны подражания. Каждый человек должен следовать правилу: беги от всякой хитрости, отсекай от тела болезнь, от души невежество, от утробы — роскошество, от города – смуту, от семьи — ссору. Вещей, к которым стоит стремиться и которых следует добиваться, есть на свете три: во-первых, прекрасное и славное, во-вторых, полезное для жизни, в-третьих, доставляющие наслаждение. Но наслаждение имеется ввиду не пошлое и обманчивое, не утоляющее роскошествами наше чревоугодие и сладострастие, а другое, направленное на прекрасное, праведное и необходимое для жизни. ?

Пифагорейская школа была своего рода политическим клубом и дружеской общиной. Философия была здесь основным занятием. И она воспринималась как особый, отличный от обыденного, образ жизни. Те, кто желал войти в этот союз, проходили трехлетний испытательный срок. До наших дней сохранилось выражение «пифагорейское пятилетнее молчание«. Эта мыслеформа означала испытание выдержкой для тех, кто не был слишком усердным в учебе. Молчание, ограниченное коротким промежутком времени, считалось необходимым для людей серьезных. Но болтунов карали своего рода изгнанием сроком до пяти лет. Эта практика и вошла в историю философии под названием «пифагорово молчание«. Пифагор полагал, что начало мудрости состоит в том, чтобы научиться размышлять и разучиться болтать. ?

Система морально-этических правил, завещанная своим ученикам Пифагором, была собрана в моральный кодекс пифагорейцев — “Золотые стихи”. Они переписывались и дополнялись на протяжении всей тысячелетней истории. В 1808 г. в Санкт-Петербурге были опубликованы правила, начинавшиеся словами: Зороастр был законодателем персов. Ликург был законодателем спартанцев. Солон был законодателем афинян. Нума был законодателем римлян. Пифагор есть законодатель всего человеческого рода. Солон Нума

Вот некоторые извлечения из книжки , содержащей 325 Пифагороейских заповедей: — Сыщи себе верного друга, имея его, ты можешь обойтись без богов. — Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества. — Юные девицы! Памятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу. — Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. — Не пекись о снискании великого знания: из всех знаний нравственная наука, быть может, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются. Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда, покуда жив человек.

Правила школы Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать. Не пренебрегай здоровьем своего тела… Приучайся жить просто и без роскоши Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.

Много интересных легенд сохранилось о школе философов. Человек, стремящийся попасть в ученики, проходил испытания. (Испытания были довольно суровыми. К примеру, предстояло провести ночь в пещере, куда «являлись» чудовища и привидения. Или: ученика заключали в келью, давали доску и требовали найти смысл одного из пифагорейских символов. Следовало объяснить: «Что означает треугольник, вписанный в круг?» Человек проводил 12 часов наедине с этой задачей, имея кружку воды и кусок хлеба; затем его вводили в залу собраний, где были в сборе все ученики, которые должны были провоцировать его па негодование — смеяться и т. п.— а он — показать свой разум и воздержанность; многие плакали, грубили, бросали доску, бранили школу и т. п.; тогда выходил Пифагор и объявлял, выдержал ли испытуемый экзамен и принят ли в школу). Как попасть в Пифагорейскую школу ? ?

Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школ существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Звездчатый пятиугольник, или пентаграмма, — пифагорейский символ здравия и тайный опознавательный знак ?

Спасибо за внимание! ?

Выбранный для просмотра документ 3. Доказательство теоремы Пифагора.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА . ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Подготовили Ученики 8-Б класса : Зельская Анастасия , Обухова Александра , Литвиненко Полина , Мазитова Эльзара , Терьяки Екатерина .

Доказательство теоремы Пифагора

До нас дошли и другие шуточные рисунки к теореме

Доказывается что: SBJLD=SABFH SJCEL=SACKG Тогда сумма квадратов на катете будет равна квадрату на гипотенузе треугольника.

Рассмотрим треугольники ABD и BFC – Они равны по двум сторонам и углу между ними FB = AB, BC = BD Угол FBC = 90 градусов + угол ABC = угол ABD

SABD = 1/2 S BJLD SFBC=1/2 S ABFH так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. (BF — общее основание, АВ — общая высота).

Исходя из того, что было написано выше, учитывая что SABD=SFBC Имеем S BJLD =SABFH Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG

Итог Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED Сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе

2. Доказательство теоремы Пифагора

b a a a a a a a a b b b b b b b c c c c I II 1 2 3 Квадрат I равен квадрату II SI=SII Все 4 треугольника каждого квадрата равны между собой. S1=S2+S3 S1=c2 S2=a2 S3 =b2 c2 =a2 +b2

3. Доказательство Гарфилда:

4. Доказательство теоремы Пифагора

Интересные факты о теореме Пифагора Книга рекордов Гиннесса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. И поясняет в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора, включая одно предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом. Теорему Пифагора доказывали через подобные треугольники, методом площадей и даже через дифференциальные уравнения – это сделал английский математик начала двадцатого века Годфри Харди. Известны доказательства теоремы Пифагора, предложенные Евклидом и Леонардо Да Винчи. А Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, а среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты». Только одно доказательство теоремы Пифагора нам не известно: доказательство самого Пифагора. Долгое время считалось, что доказательство Евклида и есть доказательство Пифагора, но теперь считают, что это доказательство принадлежит Евклиду. Сам Пифагор никогда не носил штанов – в те времена греки их не знали.

Выбранный для просмотра документ 4. Применение теоремы Пифагора на практике.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Применение теоремы Пифагора на практике. Подготовили Ученики 8-Б класса Цибулин С. , Халилов К. , Степанчук Д. , Панин К.

Практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Например в Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а также время, запах и вкус. Это наглядно говорит о том, насколько быстро увеличивается количество измерений, используемых человечеством. Ведь еще три года назад никто и не заикался о более чем трех измерениях в кино. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень «просто»: ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять и т.д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды.

Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому,как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b Мы имеем d?=a?+b?

СТРОИТЕЛЬСТВО ОКНА КРЫШИ МОЛНИЕОТВОДЫ

ОКНО В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна для наружных дуг и половине ширины для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями . А тогда становится ясным положение ее центра

Крыша При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF. Решение: Треугольник ADC — равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда: А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м., Б) Из треугольника ABF: AF=5,7

Молниеотвод Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: По теореме Пифагора h2? a2+b2, значит h?(a2+b2)1/2 .

Мобильная связь Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.) Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB=OA+AB OB=r + x. Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.

Выбранный для просмотра документ Визитка на проект.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Защита проектов По теме «Теорема Пифагора» Библиографы «Легенды и факты о Пифагоре» Пифагорейская школа Доказательство теоремы Пифагора Практическое применение теоремы Пифагора

Выбранный для просмотра документ Проект по теме.doc

Проект по теме « “Теорема Пифагора. И ныне теорема Пифагора верна, как и в его далёкий век».

«Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них —это теорема Пифагора. » Иоганн Кеплер.

Воспитание у учащихся общеучебных умений и навыков: работать с информационным материалом, с дополнительной литературой по математике; поиска, выбора и анализа нужной информации по заданной теме и составления сообщения в краткой форме; оформления наглядности и защиты своего выступления.

Воспитание устойчивого интереса к изучению предмета геометрии, понимания роли геометрии в решении практических задач, возникающих в окружающем нас мире.

Расширение знаний учащихся о жизни великого математика Пифагора, о знаменитой теореме Пифагора и ее различных способах доказательства.

Способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, развитие способности к аналитико-синтетическому мышлению, расширение кругозора.

Развитие умения преодолевать трудности; развитие коммуникативных и презентационных умений и навыков; развитие умения взаимодействовать в группе.

Оборудование : компьютер; проектор; интерактивная доска; плакаты.

Учебные вопросы темы:

1. Биография Пифагора

2. Различные способы доказательства теоремы Пифагора

3. Пифагорейская школа

4. Практическое применение теоремы

1-й урок по теме «Теорема Пифагора»

Решение задач. Обратная теорема Пифагора

Обобщающий урок по теме «Теорема Пифагора»

Проект по теме «“Теорема Пифагора. И ныне теорема Пифагора верна, как и в его далёкий век».

«Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них —это теорема Пифагора. » Иоганн Кеплер.

  • Воспитание у учащихся общеучебных умений и навыков: работать с информационным материалом, с дополнительной литературой по математике; поиска, выбора и анализа нужной информации по заданной теме и составления сообщения в краткой форме; оформления наглядности и защиты своего выступления.
  • Воспитание устойчивого интереса к изучению предмета геометрии, понимания роли геометрии в решении практических задач, возникающих в окружающем нас мире.
  • Расширение знаний учащихся о жизни великого математика Пифагора, о знаменитой теореме Пифагора и ее различных способах доказательства.
  • Способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, развитие способности к аналитико-синтетическому мышлению, расширение кругозора.
  • Развитие умения преодолевать трудности; развитие коммуникативных и презентационных умений и навыков; развитие умения взаимодействовать в группе.

Оборудование: компьютер; проектор; интерактивная доска; плакаты.

Учебные вопросы темы:

1. Биография Пифагора

2. Различные способы доказательства теоремы Пифагора

3. Пифагорейская школа

4. Практическое применение теоремы

• Подготовительный 1-й урок по теме «Теорема Пифагора»

• Основной Решение задач. Обратная теорема Пифагора

• Презентация Обобщающий урок по теме «Теорема Пифагора»

infourok.ru

Смотрите так же:

  • Презентация собственность 8 класс Презентация "Практикум к уроку "Собственность" для 8 класса по обществознанию План-конспект урока «Собственность» Используемые материалы: - § 13 учебника Л.Н. Боголюбова , А.И. Матвеева «Обществознание». М. Просвещение. 2010. - презентация с тестами «Готовимся к ГИА»; - презентация «Практикум к уроку […]
  • Экономическое содержание и назначение налогов Экономическое содержание и значение налогов. Экономическая сущность налогов. «В налогах воплощено эк-кое выражение существования государства» — констатировал Карл Маркс. Налогообложение дает возможность принудительно изымать часть НД для образования гос-ных фондов д/средств. В процессе развития государство требует […]
  • Ук статья убийство сотрудников правоохранительных Посягательство на жизнь сотрудника правоохранительного органа. Отграничение от убийства. Применение насилия в отношении представителя власти. Посягательство на жизнь сотрудника правоохранительного органа. (ст.317 УК РФ) Видовым объектом преступления являются общественные отношения по обеспечению управленческой […]
  • Вывод лабораторная работа изучение закона сохранения механической энергии Презентация по физике "Изучение закона сохранения механической энергии" 10 класс Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок» Выбранный для просмотра документ Лабораторная работа 2.docx МБОУ СОШ р.п.Лазарев Николаевский район Хабаровский крайВыполнила: учитель физики Т.А.Князева Лабораторная работа […]
  • Развод с номерами машин Развод с номерами машин Приобрести страховку можно будет непосредственно на контрольно-пропускном пункте, уточняет «Интерфакс». Стоимость страхового пакета зависит от вида транспортного средства и срока страхового периода, который рассчитывается на 15, 30 или 90 дней, а также на год. Так, в зависимости от срока […]
  • Работа с проживанием вахта казань Работа вахтой Казань: вакансии Татарстана Работа вахтовым методом в Казани и Татарстане 2018 г. Вакансии «Вахта» в Казани — Работа вахтовым методом с проживанием. Актуальные вакансии Вахтой в Казани. Средняя зарплата для профессии вахтой в Казани — 45 900 руб., что на 7% больше, чем зарплата по России для этой […]
  • Ржд правила для пассажиров Какие права имеют все пассажиры РЖД? Пассажир, осуществляющий поездку с помощью российских железных дорог, обладает целым комплексом прав, о существовании которых многие даже не догадываются. О всех правах пассажиров РЖД расскажем в статье. Какими законами регулируются? Правила перевозки пассажиров и права, […]
  • Сколько получает адвокат Сколько зарабатывает адвокат в России — интервью Уровень дохода адвоката в России напрямую зависит от его профессионализма и опыта. Средняя зарплата адвокатов составляет около 40-50 тыс. рублей в месяц, но значительно отличается от региона работы и должности. В Москве адвокат зарабатывает до 180 тыс. рублей в месяц, […]