Закон распределения дискретных случайных величин может быть задан в виде

4. Распределение дискретных случайных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин

В приложениях теории вероятностей основное значение имеет количественная характеристика эксперимента. Величина, которая может быть количественно определена и которая в результате эксперимента может принимать в зависимости от случая различные значения, называется случайной величиной.

Примеры случайных величин:

1. Число выпадений четного числа очков при десяти бросаниях игральной кости.

2. Число попаданий в мишень стрелком, который производит серию выстрелов.

3. Число осколков разорвавшегося снаряда.

В каждом из приведенных примеров случайная величина может принимать лишь изолированные значения, то есть значения, которые можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел.

Такая случайная величина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями, называется дискретной.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы (ряд распределения вероятностей), аналитически и графически (многоугольник распределения вероятностей).

При осуществлении того или иного эксперимента возникает необходимость оценивать изучаемую величину «в среднем». Роль среднего значения случайной величины играет числовая характеристика, называемая математическим ожиданием, которая определяется формулой

Пример. Производится стрельба по мишени (рис. 11).

Попадание в I дает три очка, в II – два очка, в III – одно очко. Число очков, выбиваемых при одном выстреле одним стрелком, имеет закон распределения вида

studfiles.net

Дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей

Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.

Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.

Описать случайную величину можно с используя закона распределения.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:

где $р1+ р2+ . + рn = 1$.

Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ . + рn+ . $ сходится и его сумма будет равна $1$.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, . n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 . n$.

Действия над дискретными вероятностями

При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу, сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:

Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline<1,\ n>.$

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

spravochnick.ru

Дискретная случайная величина имеет какой закон распределения

Закон распределения может быть задан и аналитически:

в случае бесконечной последовательности. Заметим, что значение случайной величины имеющее наибольшую вероятность,

Пример 1. Переменная величина х есть число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. Переменная может принять одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность выпадения каждого значения есть, 1/6. Следовательно, таблица распределения этой случайной величины будет иметь вид

Таблица распределения вероятностей будет

Решение. Случайная величина может принимать любое целое положительное значение Вероятность того, что событие А произойдет при первом испытании, будет

Случайная величина номер выстрела, при котором произошло первое попадание. Таблица распределения вероятностей этой случайной величины будет та же, что и в примере 2.

в случае конечной последовательности N значений, или

Пример 3. Вероятность попадания при каждом выстреле Имеется три снаряда. Определить вероятность того, что будет израсходован один снаряд, два снаряда, три снаряда, если стрельба ведется до первого попадания или промаха всеми тремя снарядами: составить таблицу распределения случайной величины х — числа израсходованных снарядов.

Пример 2. Вероятность появления события А при каждом из бесконечной последовательности испытаний равна р. Случайная величина номер испытания, при котором произошло первый раз событие А. Найти закон распределения случайной величины

Решение. Пусть х — случайная величина: число израсходованных снарядов; — вероятность того, что будет израсходовано снарядов. Тогда равна вероятности попадания при одном (первом) выстреле.

так как всего три снаряда и стрельбу прекращают независимо от того, будет ли при третьем выстреле попадание или промах. Последнюю вероятность можно было вычислить и как разность

Из определения следует, что каждому значению соответствует вероятность .

то говорят, что случайная величина х имеет биномиальный закон распределения:

Рассмотренная выше в примере 1 случайная величина х имеет биномиальный закон распределения, в котором n = 4, p = 0,8.

и каждому из этих чисел xi поставлено в соответствие некоторое положительное число pi, причем

Проверка: 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.

то говорят, что случайная величина х имеет гипергеометрический закон распределения.

p(C) = p (x ? 1) = 1 – p( x ? 0) 1 – p ( ) = 1 – 0,368 = 0,632.

Закон распределения х представится таблицей:

б) Вероятность событий 1 ? х ? 3 и х > 3 равны:

Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

Пример 1. По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле р = 0,8. Требуется: а) найти закон распределения дискретной случайной величины х, равной числу попаданий в мишень; б) найти вероятности событий: 1 ? х ? 3; х > 3; в) построить многоугольник распределения.

Используя полученную таблицу, находим вероятности событий А, В и С:

Дискретная случайная величина и закон ее распределения

Пример 2. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара; х – число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х и вероятность события х ? 2.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Таким образом, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Законы распределения случайных величин и их применение (стр

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

Пусть сегмент оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина

Найдем математическое ожидание величины Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, определим вероятности значений:

Для биномиального распределения M(X)=np, для распределения Пуассона M(X)=?

  • Дисперсия дискретной случайной величины D(X)= M[X–M(X)] 2 или D(X) = M(X 2 )?[M(X)] 2 . Разность X–M(X) называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания.

    Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

    Решение. По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X: 0, 10, 50, 100 и 500.

    Основные числовые характеристики дискретной случайной величины:

    3. Закон распределения может быть задан графически – многоугольником (полигоном) распределения (смотри задачу 3).

    Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.

    Закон распределения дискретной случайной величины

    Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

    Решение. 1. Дискретная случайная величина X= имеет следующие возможные значения: х1=0 (ни один из элементов устройства не отказал), х2=1 (отказал один элемент), х3=2 (отказало два элемента) и х4=3 (отказали три элемента).

    Законом распределения дискретной случайной величины называется функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.

    Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.

    Решение. Пусть с.в. = . Построим граф распределения с.в. :

    Пример 62. Найти закон и интегральную функцию распределения для числа выпадения «герба» при трех подбрасываниях монеты.

    Пример 63. Построить граф распределения для числа подбрасывания монеты до появления «герба».

    Обозначим через вероятность этого события:

    Если — случайная величина, а , , . — ее значения, то совокупность всех элементарных событий, на которых принимает фиксированное значение , образует событие

    Дискретная случайная величина имеет какой закон распределения

    Используя формулу суммы убывающей геометрической прогрессии (см. § 10), убеждаемся, что Это пример бесконечной дискретной случайной величины.

    Найти закон и интегральную функцию распределения для случайной величины =

    Тогда по графу находим и получаем закон распределения:

    Решение. Пусть с.в. = . Тогда искомый граф распределения с.в. выглядит следующим образом:

    где в верхней строчке написаны значения случайной величины, а в нижней — под каждым — вероятности . Заметим, что

    Построим график интегральной функции распределения:

    Свойства интегральной функции распределения:

    Построить график функции распределения и вычислить вероятность, что случайная величина принадлежит промежутку .

    Приведем решения задач на отыскание функции распределения.

    Приведенную зависимость называют условием нормировки для дискретной случайной величины , а таблицу распределения – рядом распределения.

    В табличной форме закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

    Функция распределения вероятностей дискретной величины — F(x)

    Случайные величины для удобства обозначают прописными буквами латинского алфавита , а их возможные значения — строчными .

    График функции распределения изображен на рисунке ниже

    Из этих границ следует, что для дискретной случайной величины с возможными значениями из ограниченного промежутка имеем

    Функцию аргумента , устанавливающую вероятность случайного события называют функцией распределения вероятностей:

    б) Вероятность, что непрерывная случайная величина примет конкретное возможное значение, всегда равна нулю

    Компактно функция распределения иметь запись

    1. Она всегда положительная со значениями в пределах от нуля до единицы

    a) Вероятность вступления случайной величиной возможных значений из промежутка равна прироста ее интегральной функции на этом промежутке:

    Каждый закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. На практике о распределении вероятностей случайной величины Х часто приходится судить только по результатам испытаний. Повторяя испытания, будем каждый раз регистрировать, произошло ли интересующее нас случайное событие А, или нет. Относительной частотой (или просто частотой) случайного события А называется отношение числа n A появлений этого события к общему числу n проведенных испытаний. При этом мы принимаем, что относительные частоты случайных событий близки к их вероятностям. Это тем более верно, чем больше число проведенных опытов. При этом частоты, как и вероятности, следует относить не к отдельным значениям случайной величины, а к интервалам. Это значит, что весь диапазон возможных значений случайной величины Х надо разбить на интервалы. Проводя серии испытаний, дающих эмпирические значения величины Х , надо фиксировать числа n x попаданий результатов в каждый интервал. При большом числе испытаний n отношение n x / n (частоты попадания в интервалы) должны быть близки к вероятностям попадания в эти интервалы. Зависимость частот n x / n от интервалов определяет эмпирическое распределение вероятностей случайной величины Х, графическое представление которой называется гистограммой (рис. 1).

    Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают интервалы равной длины, на которые разбивается весь диапазон возможных значений случайной величины Х , а по оси ординат откладывают частоты n x / n. Тогда высота каждого столбика гистограммы равна соответствующей частоте. Таким образом, получается приближенное представление закона распределения вероятностей для случайной величины Х в виде ступенчатой функции, аппроксимация (выравнивание) которой некоторой кривой f (x) даст плотность распределения.

    Кроме этого универсального, существуют также частные виды законов распределения: ряд распределения (только для дискретных случайных величин) и плотность распределения (только для непрерывных случайных величин).

    Рис. 1. Гистограмма и выравнивающая плотность распределения

    Основные свойства плотности распределения:

    Вероятность того, что случайная величина Х (дискретная или непрерывная) принимает значение, меньшее х , называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F ( x ) :

    Случайная величина Х называется дискретной, если существует такая неотрицательная функция

    Функция распределения является универсальным видом закона распределения, пригодным для любой случайной величины.

    которая ставит в соответствие значению х i переменной Х вероятность р i , с которой она принимает это значение.

    Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина Х принимает определеное значение х i или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.

    Случайные величины и законы распределения

    Случайная величина Х называется непрерывной, если для любых a Posted in Полезные статьи

    o-v-m.ru

    Закон распределения дискретных случайных величин может быть задан в виде

    • ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
    • ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
      ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
    • § 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии
    • § 2. Определения
    • § 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
    • § 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия
    • § 5. Однородные уравнения первого порядка
    • § 6. Уравнения, приводящиеся к однородным
    • § 7. Линейные уравнения первого порядка
    • § 8. Уравнение Бернулли
    • § 9. Уравнение в полных дифференциалах
    • § 10. Интегрирующий множитель
    • § 11. Огибающая семейства кривых
    • § 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка
    • § 13. Уравнение Клеро
    • § 14. Уравнение Лагранжа
    • § 15. Ортогональные и изогональные траектории
    • § 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия)
    • § 17. Уравнение вида y^(n) = f(x)
    • § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости
    • § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка
    • § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
    • § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
    • § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
    • § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка
    • § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
    • § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков
    • § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний
    • § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний
    • § 28. Вынужденные колебания
    • § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
    • § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
    • § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
    • § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
    • § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса
    • § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
    • Упражнения к главе XIII
    • ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
    • § 2. Вычисление двойного интеграла
    • § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение)
    • § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
    • § 5. Двойной интеграл в полярных координатах
    • § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)
    • § 7. Вычисление площади поверхности
    • § 9. Момент инерции площади плоской фигуры
    • § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры
    • § 11. Тройной интеграл
    • § 12. Вычисление тройного интеграла
    • § 13. Замена переменных в тройном интеграле
    • § 14. Момент инерции и координаты центра масс тела
    • § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
    • Упражнения к главе XIV
    • ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
    • § 2. Вычисление криволинейного интеграла
    • § 3. Формула Грина
    • § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
    • § 5. Поверхностный интеграл
    • § 6. Вычисление поверхностного интеграла
    • § 7. Формула Стокса
    • § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения
    • Упражнения к главе XV
      ГЛАВА XVI. РЯДЫ
    • § 1. Ряд. Сумма ряда
    • § 2. Необходимый признак сходимости ряда
    • § 3. Сравнение рядов с положительными членами
    • § 4. Признак Даламбера
    • § 5. Признак Коши
    • § 6. Интегральный признак сходимости ряда
    • § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
    • § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
    • § 9. Функциональные ряды
    • § 10. Мажорируемые ряды
    • § 11. Непрерывность суммы ряда
    • § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов
    • § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости
    • § 14. Дифференцирование степенных рядов
    • § 15. Ряды по степеням x-a
    • § 16. Ряды Тейлора и Маклорена
    • § 17. Примеры разложения функций в ряды
    • § 18. Формула Эйлера
    • § 19. Биномиальный ряд
    • § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов
    • § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
    • § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
    • § 23. Уравнение Бесселя
    • § 24. Ряды с комплексными членами
    • § 25. Степенные ряды с комплексной переменной
    • § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)
    • § 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении
    • § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения
    • Упражнения к главе XVI
    • ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ
    • § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье
    • § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
    • § 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
    • § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l
    • § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье
    • § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена
    • § 8. Интеграл Дирихле
    • § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке
    • § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье
    • § 11. Практический гармонический анализ
    • § 12. Ряд Фурье в комплексной форме
    • § 13. Интеграл Фурье
    • § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме
    • § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций
    • § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов
    • Упражнения к главе XVII
      ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
    • § 1. Основные типы уравнений математической физики
    • § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах
    • § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)
    • § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи
    • § 5. Распространение тепла в пространстве
    • § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
    • § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне
    • § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач
    • § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях
    • § 10. Решение задачи Дирихле для круга
    • § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
    • Упражнения к главе XVIII
      ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
    • § 1. Начальная функция и ее изображение
    • § 2. Изображение функций .
    • § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at
    • § 4. Свойство линейности изображения
    • § 5. Теорема смещения
    • § 6. Изображение функций .
    • § 7. Дифференцирование изображения
    • § 8. Изображение производных
    • § 9. Таблица некоторых изображений
    • § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения
    • § 11. Теорема разложения
    • § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом
    • § 13. Теорема свертывания
    • § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей
    • § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний
    • § 16. Исследование свободных колебаний
    • § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы
    • § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса
    • § 19. Теорема запаздывания
    • § 20. Дельта-функция и ее изображение
    • Упражнения к главе XIX
    • ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
    • § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей
    • § 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей
    • § 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события
    • § 4. Умножение вероятностей независимых событий
    • § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность
    • § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса
    • § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины
    • § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях
    • § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины
    • § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах
    • § 11. Функции от случайных величин
    • § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
    • § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей
    • § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
    • § 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения
    • § 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения
    • § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона
    • § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка
    • § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа
    • § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок
    • § 21. Среднеарифметическая ошибка
    • § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок
    • § 23. Двумерная случайная величина
    • § 24. Нормальный закон распределения на плоскости
    • § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения
    • § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания
    • § 27. Задачи математической статистики. Статистический материал
    • § 28. Статистический ряд. Гистограмма
    • § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины
    • § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа
    • Упражнения к главе XX
      ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
    • § 1. Линейные преобразования. Матрица
    • § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы
    • § 3. Обратное преобразование
    • § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц
    • § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы
    • § 6. Обратная матрица
    • § 7. Нахождение матрицы, обратной данной
    • § 8. Матричная запись системы линейных уравнений
    • § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом
    • § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы
    • § 11. Собственный вектор линейного преобразования
    • § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами
    • § 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому
    • § 14. Квадратичные формы и их преобразования
    • § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений
    • § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц
    • § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
    • § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка
    • § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи
    • Упражнения к главе XXI
    • ПРИЛОЖЕНИЯ

    © 2018 Научная библиотека

    Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

    edu.sernam.ru

    Закон распределения дискретной случайной величины.

    Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

    Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

    Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

    Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

    Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятности числа попаданий и построить многоугольник распределения.

    Вероятности пяти попаданий из пяти возможных, четырех из пяти и трех из пяти были найдены выше по формуле Бернулли и равны соответственно:

    , ,

    Представим графически зависимость числа попаданий от их вероятностей.

    При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности.

    Пример. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

    Если обозначить р – вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле, то вероятность промаха при одном выстреле, очевидно, равна (1 – р).

    Вероятность трех промахов из трех выстрелов равна (1 – р) 3 . Эта вероятность равна 1 – 0,875 = 0,125, т.е. в цель не попадают ни одного раза.

    Получаем:

    Пример. В первой коробке содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй коробке 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой коробки наугад извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наугад берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

    Вероятность того, что взятый из первой коробки шар белый — что не белый — .

    Вероятность того, что взятый из второй коробки шар белый — что не белый —

    Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из первой коробки и вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из второй коробки, равны 0,5.

    Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из первой коробки, и он белый —

    Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из второй коробки, и он белый —

    Вероятность того, что повторно будет выбран белый шар, равна

    Пример. Имеется пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наугад выбранной винтовки.

    Вероятность того, что выбрана винтовка с оптическим прицелом, обозначим , а вероятность того, что выбрана винтовка без оптического прицела, обозначим .

    Вероятность того, что выбрали винтовку с оптическим прицелом, и при этом цель была поражена , где Р(ПЦ/O) – вероятность поражения цели из винтовки с оптическим прицелом.

    Аналогично, вероятность того, что выбрали винтовку без оптического прицела, и при этом цель была поражена , где Р(ПЦ/БO) – вероятность поражения цели из винтовки без оптического прицела.

    Окончательная вероятность поражения цели равна сумме вероятностей Р1 и Р2, т.к. для поражения цели достаточно, чтобы произошло одно из этих несовместных событий.

    Пример. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что медведь был убит первым стрелком, если вероятности попадания для этих стрелков равны соответственно 0,3, 0,4, 0,5.

    В этой задаче требуется определить вероятность гипотезы уже после того, как событие уже совершилось. Для определения искомой вероятности надо воспользоваться формулой Бейеса. В нашем случае она имеет вид:

    В этой формуле Н1, Н2, Н3 – гипотезы, что медведя убьет первый, второй и третий стрелок соответственно. До произведения выстрелов эти гипотезы равновероятны и их вероятность равна .

    P(H1/A) – вероятность того, что медведя убил первый стрелок при условии, что выстрелы уже произведены (событие А).

    Вероятности того, что медведя убьет первый, второй или третий стрелок, вычисленные до выстрелов, равны соответственно:

    Здесь q1 = 0,7; q2 = 0,6; q3 = 0,5 – вероятности промаха для каждого из стрелков, рассчитаны как q = 1 – p, где р – вероятности попадания для каждого из стрелков.

    Подставим эти значения в формулу Бейеса:

    Пример. Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех радиосигналов.

    Событие приема трех сигналов из четырех возможно в четырех случаях:

    Для приема трех сигналов необходимо совершение одного из событий А, В, С или D. Таким образом, находим искомую вероятность:

    Пример. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

    В общей сложности имеется 40 вопросов (по 2 в каждом из 20 билетов). Вероятность того, что выпадает вопрос, на который ответ известен, очевидно, равна .

    Для того, чтобы сдать экзамен, требуется совершение одного из трех событий:

    1) Событие A – ответили на первый вопрос (вероятность ) и ответили на второй вопрос (вероятность ). Т.к. после успешного ответа на первый вопрос остается еще 39 вопросов, на 34 из которых ответы известны.

    2) Событие В – на первый вопрос ответили (вероятность ), на второй – нет (вероятность ), на третий – ответили (вероятность ).

    3) Событие С – на первый вопрос не ответили (вероятность ), на второй – ответили (вероятность ), на третий – ответили (вероятность ).

    Вероятность того, что при заданных условиях экзамен будет сдан равна:

    Пример. Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из 12 деталей, 3 из которых — бракованные. Вторая партия состоит из 15 деталей, 4 из которых – бракованные. Из первой и второй партий извлекают по две детали. Какова вероятность того, что среди них нет бракованных деталей.

    Вероятность оказаться не бракованной для первой детали, извлеченной из первой партии, равна , для второй детали, извлеченной из первой партии при условии, что первая деталь была не бракованной — .

    Вероятность оказаться не бракованной для первой детали, извлеченной из второй партии, равна , для второй детали, извлеченной из второй партии при условии, что первая деталь была не бракованной — .

    Вероятность того, что среди четырех извлеченных деталей нет бракованных, равна:

    Рассмотрим тот же пример, но несколько с другим условием.

    Пример. Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из 12 деталей, 3 из которых — бракованные. Вторая партия состоит из 15 деталей, 4 из которых – бракованные. Из первой партии извлекаются наугад 5 деталей, а из второй – 7 деталей. Эти детали образуют новую партию. Какова вероятность достать из них бракованную деталь?

    Для того, чтобы выбранная наугад деталь была бы бракованной, необходимо выполнение одного из двух несовместных условий:

    1) Выбранная деталь была из первой партии (вероятность — ) и при этом она – бракованная (вероятность — ). Окончательно:

    2) Выбранная деталь была из второй партии (вероятность — ) и при этом она – бракованная (вероятность — ). Окончательно:

    Окончательно, получаем:.

    Пример. В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают наугад два шара. Найти вероятность того, что эти шары не одного цвета.

    Событие, состоящее в том, что выбранные шары разного цвета произойдет в одном из двух случаев:

    1) Первый шар белый (вероятность — ), а второй – черный (вероятность — ).

    2) Первый шар черный (вероятность — ), а второй – белый (вероятность — ).

    Окончательно получаем:

    xn--80aaivjfyj3e.com

  • Смотрите так же:

    • Юристы по жкх вопросам бесплатно Юридическая консультация по вопросам ЖКХ Жилищно-коммунальное хозяйство представляет собой комплекс подотраслей, которые обеспечивают функциональность инфраструктуры различных зданий, путём предоставления услуг создающих или поддерживающих комфорт и удобство проживания граждан. В этот комплекс входят: фирмы по […]
    • Жалоба в жилинспекцию на ук Как можно написать и грамотно оформить жалобу на управляющую компанию в жилищную инспекцию? Жилищная инспекция – это первая инстанция, в которую обращается недовольный жилец после того, как управляющая компания не исполнила его требования, изложенные в претензии. Некоторые потребители коммунальных услуг и вовсе […]
    • Получение гражданства рф вич Получение РВП при наличии ВИЧ-заболевания Проблема такова. Получила свидетельство переселенца в иркутскую область из Казахстана, и приехала на территорию вселения, но здесь выяснила, что больна ВИЧ. Смогу ли я как то получить рвп и гражданство по госпрограмме? И что мне вообще делать в этом случае?. Уехать я с детьми […]
    • Новый закон о судах общей юрисдикции Федеральный конституционный закон «О судах общей юрисдикции в Российской Федерации» от 07.02.2011 N 1-ФКЗ ст 35 (ред. от 21.07.2014) Статья 35. Председатель, заместитель председателя районного суда 1. Председатель районного суда и его заместитель (заместители) назначаются на должность Президентом Российской Федерации […]
    • Что делать если есть страховка но нет техосмотра Что делать если есть страховка но нет техосмотра "Особенности языка закона: Речевые особенности официально-делового стиля вообще в полной мере свойственны и языку законов как его подстилю. Более того, в языке законов эти особенности встречаются в концентрированном виде и используются с повышенной строгостью. В […]
    • Бесплатные юристы в норильске Консультация юриста онлайн Быстрый ответ — на срочный вопрос, ответ в течение часа 100% гарантия консультации юриста Круглосуточная онлайн консультация 24/7 Понятные ответы на вопросы любой сложности Всегда на связи адвокаты юристы онлайн прямо сейчас Реальная консультация от живых юристов Ответ сразу […]
    • Приказ об учете материальных ценностей Приказ Минфина РФ от 30 марта 2001 г. N 26н "Об утверждении Положения по бухгалтерскому учету "Учет основных средств" ПБУ 6/01" (с изменениями и дополнениями) Приказ Минфина РФ от 30 марта 2001 г. N 26н"Об утверждении Положения по бухгалтерскому учету "Учет основных средств" ПБУ 6/01" С изменениями и дополнениями […]
    • Осаго в саратове ленинский район Где купить страховку ОСАГО в Саратове Наличие полиса обязательного страхования автогражданской ответственности (ОСАГО) является законодательно закрепленной нормой для всех автовладельцев на территории РФ. Наличие полиса ОСАГО позволяет компенсировать ответственность виновники ДТП пострадавшей стороне в объеме […]